\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[russian]{babel}
%\usepackage{ucs}
% fabs@live.nl
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
%\usepackage{braket}
\def\bra#1{\mathinner{\langle{#1}|}}
\def\ket#1{\mathinner{|{#1}\rangle}}
\def\braket#1{\mathinner{\langle{#1}\rangle}}
\def\Bra#1{\left<#1\right|}
\def\Ket#1{\left|#1\right>}
\newcommand{\vect}[1]{\boldsymbol{#1}}

\title{Теория рассеяния на импульсной решетке}

\author{.}

\begin{document}

\maketitle

	\begin{abstract}
		В данной работе получена конечномерная аппроксимация операторов рассеяния и уравнения Липпмана-Швингера путем перехода из базиса плоских волн в базис волновых пакетов. В таком представлении функция Грина свободной частицы интегрируется аналитически, что существенно упрощает численное решение уравнений.
	\end{abstract}

\section{Введение}
Знание физических величин, характеризующих процесс рассеяния, необходимо во многих областях современной физики: феноменологии элементарных частиц, при вычислении интегралов столкновений в теории плазмы, при расчете замедления нейтронов в ядерных реакторах. Для решения возникающих при этом уравнений необходимы большие вычислительные мощности, и проведение таких расчетов на персональных компьютерах возможно лишь в небольшом числе случаев. В связи со все возрастающей доступностью параллельных вычислений (grid-сети, кластеры, суперкомпьютеры) возникает проблема разработки методов и алгоритмов решения задач рассеяния в многопоточном режиме. При этом возможно существенно увеличить число задач, поддающихся вычислению ab initio.


\section{Базис волновых пакетов}
Волновые пакеты вводим стандартным образом, как и в работах [ссылки].
\[
	\ket{k_{ijl}} = \frac{1}{\sqrt{\mu(D_{ijl})}} \int\limits_{D_{ijl}} \ket{\vec{k}} d^3k
\]\[
	\mu(D_{ijl}) = \int\limits_{D_{ijl}} d^3k
\]
% Переходя к конкреным координатам к импульсном пространстве и учитывая малость $D_{ijl}$ имеем:
% \[
% 	\ket{k_{ijl}} = \frac{1}{\sqrt{ \int\limits_{D_{ijl}} J dk_{\xi}dk_{\zeta}dk_{\eta} }} \int\limits_{D_{ijl}} \ket{\vec{k}} J dk_{\xi}dk_{\zeta}dk_{\eta} \approx 
% 	\frac{1}{\sqrt{ \Delta{k_{\xi}}\Delta{k_{\zeta}}\Delta{k_{\eta}} }} 
% 	\int\limits_{D_{ijl}} \ket{\vec{k}} \frac{ dk_{\xi}dk_{\zeta}dk_{\eta} }{ \sqrt{J} }
% \]
Полученная система волновых функций ортонормированна и полна:
\[
	\braket{k_{i'j'l'}|k_{ijl}} = \delta_{i'j'l',ijl}
\]\[
	\sum\limits_{ijl} \ket{k_{ijl}}\bra{k_{ijl}} = 1
\]


\section{Решетка при наличии азимутальной симметрии}
При наличии в задаче азимутальной симметрии нет необходимости делать пакетирование по азимутальному углу. Таким образом имеем определение волнового пакета:

\[
	\ket{i,t,\varphi} = \frac{1}{\sqrt{\mu(D_{it})}} \int\limits_{D_{it}} \ket{\vec{k}} d^2k
\]\[
	\mu(D_{it}) = \int\limits_{D_{it}} d^2k, \;\;\;  D_{it} = [k_i^-,k_i^+]\times[\theta_t^-,\theta_t^+]
\]

где индексами $^+$ и $^-$ обозначены соответственно верхняя и нижняя границы данного интервала.

Определенные так волновые пакеты нормированны следующим условием:

\[
	\braket{i',t',\varphi'|i,t,\varphi} = \delta_{i',i}\delta_{t',t}\delta(\varphi'-\varphi)
\]

Для перехода к представлению ВП необходимо вычислить перекрытие с плоскими волнами:

\[
	\braket{\vec{k}'|i,t,\varphi} = \frac{1}{\sqrt{\mu(D_{it})}} \delta_{\{k'\},i}\;\delta_{\{\theta'\},t}\;\delta(\varphi'-\varphi)
\]

здесь $\{k'\}$ и $\{\theta'\}$ обозначают номера интервалов в которые попадают $k'$ и $\theta'$.

\section{Функция Грина в представлении ВП}

Используя известное представление функции Грина свободной частицы
\[
	G(k_0) = \frac{2m}{\hbar^2} \int d^3k \frac{ \ket{\vec{k}} \bra{ \vec{k} } }{ k_0^2 - k^2 + i\epsilon } 
\]
перейдем в представление ВП:
\[
  G_{it}\equiv\bra{i,t,\varphi}G\ket{i,t,\varphi} = 
	\frac{2m}{\hbar^2 \mu_{it}} \int d^3k 
		\frac{ \delta_{\{k'\},i}\;\delta_{\{\theta'\},t}\;\delta(\varphi'-\varphi) }{ k_0^2 - k^2 + i\epsilon } 
\]
вводя сферические координаты и интегрируя по $\varphi$ и $\theta$:
\[
  G_{it} = \frac{2m (cos(\theta_t^-)-cos(\theta_t^+))}{\hbar^2 \mu_{it}} \int\limits_{\Delta k_i}
		\frac{ k^2 dk }{ k_0^2 - k^2 + i\epsilon } 
\]
и окончательно:
\[
  G_{it} = \frac{2m}{\hbar^2 \mu_{it}}  (cos(\theta_t^-)-cos(\theta_t^+))
		\bigg( 
			k_i^- - k_i^+ + \frac{k_0}{2}\ln\frac{(k_i^+ +k_0)(k_i^- -k_0)}{(k_i^+ -k_0)(k_i^- +k_0)} + \frac{i\pi k_0}{2}\delta_{\{k'\},i}
		\bigg)
\]

\section{Уравнение Липпмана-Швингера в представлении ВП}
Запишем уравнение Липпмана-Швингера в представлении ВП. Потенциал считаем центральным, соответственно зависимость V и Т от $\vec{k}$,$\vec{k}'$ сводится к $(\vec{k}'-\vec{k})^2$. Будем интересоваться элементами вида $\bra{\vec{k}}T\ket{\vec{k_0}}$.
% \[
%   T( (\vec{k} -\vec{k_0})^2 ) = V ( (\vec{k} -\vec{k_0})^2 ) -
%  		\frac{2m}{\hbar^2}\int d^3k' \frac{  V( (\vec{k} -\vec{k}')^2 ) T( (\vec{k}' -\vec{k_0})^2 )  }{k_0^2 - k'^2 + i\epsilon}
% \]
\[
	T = V + V G_0 T
\]

Т-матрица:
\[
	T_{it} \equiv \bra{i,t,\varphi}T\ket{\vec{k_0}} = P_{it} T(k_i^*,\theta_t^*) 
\] 
Здесь и далее $^*$ - обозначает внутреннюю точку интервала и
\[
	P_{it} = \frac{k_i^* \; \Delta k_i \; \Delta cos(\theta_t) }{\mu_{it}}
\]

Потенциал:
\[
	V_{it,i't'}(\varphi,\varphi') \equiv \bra{i,t,\varphi}T\ket{i',t',\varphi'} = P_{it} P_{i't'} V( q^2 ) 
\]
где
\[
	q^2 \equiv |\vec{k}' -\vec{k}|^2 =
	 k_{i'}^{*2} + k_{i}^{*2} - 2k_{i'}^*k_{i}^*(
	 	cos(\theta_{t'}^* - \theta_{t}^*) - 2sin(\theta_{t}^*)sin(\theta_{t'}^*)sin^2(\frac{\varphi'-\varphi}{2})
	 )
\]

Итого имеем матричное уравнение:
\[
	T_{it} = V_{it,\{k_0\}0}(\varphi,\varphi'=0) - \frac{2m}{\hbar^2} \sum\limits_{i't'}  
		\int\limits_0^{2\pi}d\varphi' V_{it,i't'}(\varphi,\varphi')G_{i't'}T_{i't'}
\]
Выберем $\varphi = 0$ и введем новый потенциал согласно
\[
	 \tilde{V}_{it,i't'} = \int\limits_0^{2\pi}d\varphi' V_{it,i't'}(0,\varphi')
\]
подставив в уравнение получим
\[
	 T_{it} =  \frac{1}{2\pi}\tilde{V}_{it,\{k_0\}0} - \frac{2m}{\hbar^2} \sum\limits_{i't'} \tilde{V}_{it,i't'}G_{i't'}T_{i't'}
\]

Решив это матричное уравнение можно найти амплитуду упругого рассеяния как функцию угла
\[
	f_{t} = - \frac{2m}{\hbar^2}\frac{(2\pi)^2}{2} \; \frac{T_{i=\{k_0\},t}}{P_{i=\{k_0\},t}}
\]



\end{document}

